# 绳波脉冲模拟 - 反射与透射、半波损失、波的叠加与驻波

> 一维弦波模拟：脉冲从轻绳到重绳的反射倒相与透射，实测 r、t 与理论对比；固定端、自由端、吸收端，两脉冲相撞叠加，连续波形成驻波，可慢放单步。

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- 最后更新: 2026-10-29
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在一根由轻、重两段组成的弦上从左端送出高斯、方波或正弦脉冲，看它在接头处分成反射波和透射波：从轻到重反射倒相，从重到轻反射同相。工具用有限差分求解波动方程，脉冲分开后自动测量反射和透射振幅、能量占比，与 r = (Z₁−Z₂)/(Z₁+Z₂)、t = 2Z₁/(Z₁+Z₂) 对比，误差通常在 0.5% 以内。还可以切换固定端、自由端和无反射吸收端，让两个脉冲相撞观察叠加，或持续驱动形成驻波。

## 使用步骤

1. 选一个场景预设，或在「从左端发波」和「两脉冲相撞」之间切换
2. 设置波形、振幅、脉冲宽度或频率、张力和两段线密度，选择右端是固定、自由还是吸收
3. 点播放，用慢放倍率和单步按钮观察脉冲到达接头或端点的瞬间；灰色虚线是解析解
4. 脉冲分开后读取实测的 r、t、R、T 与理论值对照；驻波模式看包络中的波节位置

## 功能特点

- 有限差分求解变线密度弦的波动方程，满足 CFL 稳定条件，可加阻尼
- 左端为透明波源，回来的波不会再反射；右端固定 / 自由 / 一阶 Mur 吸收边界
- 自动测量接头处的振幅反射、透射系数和能量占比，与理论值并列显示
- 灰色虚线叠加解析解，直观看到数值解与理论的吻合
- 两脉冲相撞（同号或异号）演示叠加原理，连续波 + 固定端形成驻波并标出理论波节
- 高斯、方波、单个正弦和连续正弦四种波形，慢放与单步

## 常见问题

### 为什么从轻绳到重绳反射的脉冲会倒过来？

接头两侧位移和斜率都必须连续。重绳的波阻抗 Z = √(Tμ) 大，“推不动”，接头处的运动被抑制，相当于一个部分固定的端点，于是反射波反相，r = (Z₁−Z₂)/(Z₁+Z₂) < 0。极限情况 Z₂ → ∞ 就是固定端，r = −1，反射波完全倒相，这就是光学里常说的“半波损失”。反过来从重到轻时 r > 0，反射波与入射波同相，极限是自由端 r = +1。

### 透射振幅可以比入射振幅大，会不会违反能量守恒？

从重绳传到轻绳时 t = 2Z₁/(Z₁+Z₂) 可以大于 1，例如 μ 从 0.4 降到 0.1 时 t = 4/3。但能量流还和波阻抗成正比：透射能量占比是 (Z₂/Z₁)t²，轻绳的 Z₂ 小，所以能量并没有增加。反射能量 r² 加透射能量 (Z₂/Z₁)t² 恒等于 1，工具会把实测的这两项与理论值一起列出来。

### 两个脉冲相撞后为什么能完好地穿过对方？

弦的小振幅波动方程是线性的，两个解相加仍然是解，这就是叠加原理。相遇时位移逐点相加：同号脉冲叠加出更高的峰，异号脉冲在某一瞬间几乎完全抵消、弦变直，但此时弦的速度不为零，能量全部以动能形式存在；随后两个脉冲各自保持原形继续前进。

### 驻波是怎么形成的？波节在哪里？

连续正弦波传到固定端后反射回来，入射波与反射波频率相同、方向相反，叠加成 2A sin(kx) cos(ωt) 形式的驻波：有些点始终不动（波节），有些点振幅最大为 2A（波腹）。固定端本身是波节，相邻波节间距为 λ/2 = c/(2f)；自由端则是波腹。工具用紫色三角标出理论波节，并用包络显示每个点的振幅。

### 数值模拟怎么保证稳定和准确？

采用中心差分格式，时间步长取 Δt = 0.98Δx/c_max，满足 CFL 条件 cΔt ≤ Δx，否则误差会指数增长。波速较慢的一段 Courant 数较小，会有轻微的数值色散，所以方波的锐边会出现小振铃，工具对方波边缘做了平滑。吸收端用一阶 Mur 边界，残余反射能量在 10⁻⁶ 量级；对高斯脉冲，实测反射、透射系数与理论值的偏差通常小于 0.5%。

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