# 无线充电与电磁炉模拟 - 线圈互感、耦合系数、谐振效率、趋肤深度

> 计算两线圈的互感与耦合系数 k，模拟磁共振无线输电效率和频率分裂，拖动手机看 Qi 对准，解释电磁炉为何只认铁锅。

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- 最后更新: 2026-10-29
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用椭圆积分和诺伊曼公式精确计算两个线圈的互感与耦合系数，侧视图里能拖动接收线圈，看交变磁感线和感应电动势随距离、偏移、倾斜变化。谐振链路页给出串串补偿的效率、最优负载和过耦合时的频率分裂；Qi 页可以拖动手机看对不准时效率如何下降；电磁炉页按趋肤深度和表面电阻估算锅底发热功率，解释铁锅能用而铝锅不行。

## 使用步骤

1. 在“线圈耦合”页选预设或设置两个线圈的半径、匝数、间距，拖动接收线圈观察 k 的变化
2. 切到“谐振链路效率”，设置频率、Q 值和负载，看效率曲线和功率随频率的分裂
3. 在“Qi 手机充电”页拖动手机，比较对准与偏移时的耦合和效率
4. 在“电磁炉”页选锅的材料、频率、直径和厚度，查看趋肤深度和发热功率

## 功能特点

- 同轴线圈用完全椭圆积分精确计算互感，偏移和倾斜用诺伊曼双重积分数值求解
- 可拖动的线圈侧视图，交流磁感线随相位动画，显示感应电动势
- 串串补偿谐振链路：最大效率、最优负载、相量求解的频率分裂曲线
- Qi 充电板俯视图，拖动手机实时计算 k、效率和相对输出功率
- 电磁炉：五种锅底材料的趋肤深度、表面电阻（含厚度修正）与按锅径积分的发热功率
- 附 RFID/NFC 不同频段读取距离的说明

## 常见问题

### 为什么无线充电的距离那么短？

无线充电靠的是近场磁耦合：发射线圈的磁场在超过线圈半径之后大约按 1/d³ 衰减，耦合系数 k 也随之迅速变小。手机 Qi 线圈直径只有 4 cm 左右，间距几毫米时 k 约 0.3–0.6，拉开到 2 cm 以上就所剩无几。想传得远就要线圈更大，或者用高 Q 谐振让很小的 k 也能有不错的效率。

### k 很小时谐振为什么还能高效传能？

串串补偿时线圈电抗被电容抵消，效率只取决于优值 U = k√(Q₁Q₂)。最大效率 η = U²/(1+√(1+U²))²，例如 k = 0.05、Q₁ = Q₂ = 300 时 U = 15，效率仍超过 87%。这需要负载匹配到 R₂√(1+U²)，偏离时效率会下降，工具里可以直接比较。

### 什么是频率分裂？

两个调到同一频率的谐振器耦合很强时（k 大于约 1/Q），系统出现两个新的本征频率，大约在 f₀/√(1±k)。负载功率随频率的曲线从一个峰变成两个峰，原来的 f₀ 处反而变成谷。所以线圈靠得太近时，固定在 f₀ 工作的充电器功率会下降，需要跟踪频率或调整负载。

### 电磁炉为什么不能用铝锅和铜锅？

加热功率与表面电阻 R_s = √(πfμρ) 成正比。铁的磁导率高、电阻率也不低，25 kHz 时趋肤深度不到 0.1 mm，R_s 大；铝和铜不导磁、电阻率又低，R_s 只有铁的几十分之一，同样电流几乎不发热，而且线圈看到的负载太小，逆变器无法匹配。要像铁锅那样发热，频率得提高几百倍，所以只有专门的全金属电磁炉才支持。

### 互感的计算精度如何？

同轴单匝圆环的互感用完全椭圆积分 K、E 的解析式，精确到浮点误差；偏移和倾斜时用诺伊曼公式做 160×160 段的数值积分，与解析式对照误差远小于 1%。多匝线圈按集中绕在同一半径近似，自感用 μ₀a[ln(8a/r)−2]，实际平面螺旋线圈会有偏差，适合估算与教学。

## 相关工具

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