🪀陀螺与进动模拟 - 章动、睡眠陀螺、陀螺仪 3D 动画

如何使用陀螺与进动模拟

1. 1选一个预设：玩具陀螺的几种章动轨迹、睡眠陀螺、支架上的陀螺仪或绳吊自行车轮
2. 2调自转 ω₃、初始倾角 θ₀ 和初始进动 φ̇₀，或在右侧改质量、ℓ、I₁、I₃
3. 3点「播放」，在画布上拖动换视角，观察 L、τ 和轴端轨迹
4. 4对照结果表里的稳定进动解、快陀螺近似和模拟值，以及 θ(t)、φ̇(t) 曲线

常见问题

陀螺为什么不倒，而是绕着竖直方向转圈？

重力对支点产生的力矩 τ = ℓê₃ × (−Mg ẑ) 总是水平的，并且垂直于转轴。转得快的陀螺角动量 L 几乎沿着轴，力矩只改变 L 的方向而不改变大小，于是 L 的尖端在水平方向上绕圈，这就是进动。快陀螺的进动角速度近似 Ω = Mgℓ/(I₃ω₃)，转得越快进动越慢。

章动是什么？为什么轨迹会出现尖点、波浪或打圈？

如果初始进动速度不恰好等于稳定进动的值，轴在进动的同时还会上下点头，这就是章动，θ 在两个值之间来回振荡。从静止松手（φ̇₀ = 0）时轴端在最高点瞬间停住，画出尖点；初始进动比稳定值小但同向时画出波浪；初始进动方向相反时画出小圈。陀螺转得越快，章动越快、幅度越小，肉眼几乎看不出来。

什么是睡眠陀螺？

竖直旋转的陀螺看起来一动不动，像睡着了一样。线性稳定性分析给出条件 ω₃² > 4MgℓI₁/I₃²：转速高于临界值时，小扰动只会引起小幅摆动；摩擦让转速降到临界以下后，陀螺开始大幅摇摆并倒下。预设里对比了同一个陀螺在临界转速上下的两种表现。

这个模拟是怎么算的，准确吗？

物理模型是定点对称重陀螺，拉格朗日量 L = ½I₁(θ̇² + φ̇²sin²θ) + ½I₃(ψ̇ + φ̇cosθ)² − Mgℓcosθ。为避免 θ = 0 处欧拉角的奇点，数值上积分等价的向量方程 dL/dt = τ、dê₃/dt = ω × ê₃，用四阶 Runge–Kutta 和足够小的步长，并与欧拉角方程逐点对比一致。能量、L_z、L₃ 的相对漂移通常小于 10⁻⁹，结果表里可直接看到。忽略了支点摩擦和空气阻力。

绳吊自行车轮为什么能水平悬着？

轮轴一端挂在绳上，轮子高速旋转时角动量很大，重力矩只让它在水平面内慢慢进动，不会掉下来。轴水平时（θ = 90°）稳定进动的精确解正好等于 Mgℓ/(I₃ω₃)。按预设的 2 kg 车轮、0.15 m 力臂、每秒 8 转计算，大约 20 秒转一圈；转速减半，进动就快一倍。