〰️绳波脉冲模拟 - 反射与透射、半波损失、波的叠加与驻波

如何使用波的反射与透射模拟（绳波脉冲）

1. 1选一个场景预设，或在「从左端发波」和「两脉冲相撞」之间切换
2. 2设置波形、振幅、脉冲宽度或频率、张力和两段线密度，选择右端是固定、自由还是吸收
3. 3点播放，用慢放倍率和单步按钮观察脉冲到达接头或端点的瞬间；灰色虚线是解析解
4. 4脉冲分开后读取实测的 r、t、R、T 与理论值对照；驻波模式看包络中的波节位置

常见问题

为什么从轻绳到重绳反射的脉冲会倒过来？

接头两侧位移和斜率都必须连续。重绳的波阻抗 Z = √(Tμ) 大，“推不动”，接头处的运动被抑制，相当于一个部分固定的端点，于是反射波反相，r = (Z₁−Z₂)/(Z₁+Z₂) < 0。极限情况 Z₂ → ∞ 就是固定端，r = −1，反射波完全倒相，这就是光学里常说的“半波损失”。反过来从重到轻时 r > 0，反射波与入射波同相，极限是自由端 r = +1。

透射振幅可以比入射振幅大，会不会违反能量守恒？

从重绳传到轻绳时 t = 2Z₁/(Z₁+Z₂) 可以大于 1，例如 μ 从 0.4 降到 0.1 时 t = 4/3。但能量流还和波阻抗成正比：透射能量占比是 (Z₂/Z₁)t²，轻绳的 Z₂ 小，所以能量并没有增加。反射能量 r² 加透射能量 (Z₂/Z₁)t² 恒等于 1，工具会把实测的这两项与理论值一起列出来。

两个脉冲相撞后为什么能完好地穿过对方？

弦的小振幅波动方程是线性的，两个解相加仍然是解，这就是叠加原理。相遇时位移逐点相加：同号脉冲叠加出更高的峰，异号脉冲在某一瞬间几乎完全抵消、弦变直，但此时弦的速度不为零，能量全部以动能形式存在；随后两个脉冲各自保持原形继续前进。

驻波是怎么形成的？波节在哪里？

连续正弦波传到固定端后反射回来，入射波与反射波频率相同、方向相反，叠加成 2A sin(kx) cos(ωt) 形式的驻波：有些点始终不动（波节），有些点振幅最大为 2A（波腹）。固定端本身是波节，相邻波节间距为 λ/2 = c/(2f)；自由端则是波腹。工具用紫色三角标出理论波节，并用包络显示每个点的振幅。

数值模拟怎么保证稳定和准确？

采用中心差分格式，时间步长取 Δt = 0.98Δx/c_max，满足 CFL 条件 cΔt ≤ Δx，否则误差会指数增长。波速较慢的一段 Courant 数较小，会有轻微的数值色散，所以方波的锐边会出现小振铃，工具对方波边缘做了平滑。吸收端用一阶 Mur 边界，残余反射能量在 10⁻⁶ 量级；对高斯脉冲，实测反射、透射系数与理论值的偏差通常小于 0.5%。