🎲熵与微观状态 - 统计熵 S=k ln Ω、爱因斯坦固体、玻尔兹曼分布

如何使用熵与微观状态

1. 1在“硬币”页设置硬币数 N，从全部正面开始播放，看正面比例怎样走向一半、涨落怎样随 N 变小
2. 2在“爱因斯坦固体”页设置两块固体的振子数和总能量子，把能量全放在 A，播放随机交换，看热量从热流向冷并停在最可几分配
3. 3在“自由膨胀”页抽掉隔板，对照 ΔS = Nk ln 2 和全部分子回到原处的概率 2⁻ᴺ
4. 4在“玻尔兹曼分布”页选能级结构、拖动温度，读出配分函数、平均能量、熵和热容曲线
5. 5在“麦克斯韦妖”页切换隔门模式，观察两室温差的产生，并阅读兰道尔原理如何挽救第二定律

常见问题

S = k ln Ω 里的 Ω 到底是什么？

Ω 是与给定宏观描述（比如“100 枚硬币里 50 枚正面”或“A 固体拥有 60 个能量子”）相容的微观状态个数。宏观态只关心总量，微观态要求说清每一枚硬币、每一个振子的状态。100 枚硬币有 2¹⁰⁰ 个微观态，其中 50 正 50 反的有 C(100,50) ≈ 1.01×10²⁹ 个，而全部正面只有 1 个。玻尔兹曼常数 k = 1.380649×10⁻²³ J/K 把这个计数换算成热力学熵的单位，工具里多数地方用 k = 1 的约化单位直接显示 ln Ω。

为什么熵总是增加？微观运动不是可逆的吗？

单个分子的运动方程确实可逆，第二定律并不来自动力学的禁令，而来自计数。系统随机地在微观态间游走，而“看起来均匀”的宏观态包含的微观态数多得压倒性，所以系统几乎总在那里。在“硬币”页把 N 调到 10 时你会常看到大幅涨落，甚至偶尔回到全正面；N = 1000 时正面比例几乎钉在 50% 附近。真实气体 N ~ 10²³，回到低熵态的概率小到在宇宙寿命内也看不到。

温度和熵有什么关系？

统计力学里温度的定义就是 1/T = ∂S/∂U：给系统增加一点能量时熵增加得越多，温度越低。两块固体接触时，能量会自发从 ∂S/∂U 小（热）的一方流向 ∂S/∂U 大（冷）的一方，因为这样总熵增加；当两边斜率相等，即温度相等时，总微观态数 Ω_A·Ω_B 达到最大，这就是热平衡。“爱因斯坦固体”页的熵曲线图正好显示了这一点。

肖特基反常是什么？

只有两个能级（间隔 ε）的系统，低温时几乎全在基态，加热也激发不上去，热容接近 0；高温时两能级占据接近各半，再加热也几乎不能增加能量，热容又趋于 0。中间在 kT ≈ 0.417ε 处出现一个峰，峰值约 0.439k，这在顺磁盐、核自旋等系统的低温热容中真实可测，与谐振子“高温趋于 k”的行为截然不同。

麦克斯韦妖为什么不能违反第二定律？

妖要放行或拦住分子，就得测量并记住分子的速度。西拉德指出，获得 1 bit 信息最多能换来 kT ln 2 的功；兰道尔和贝内特进一步证明，测量本身可以不耗能，但妖的记忆有限，必须不断擦除旧记录，而擦除 1 bit 至少向环境放出 kT ln 2 的热。把妖和它的记忆一起算进去，总熵并没有减少。室温下这个代价约 2.87×10⁻²¹ J，今天的芯片每次位操作的能耗仍比它高很多倍。