祈灵工具箱💎晶胞与晶体结构 - 3D 晶胞模型、均摊法计数、配位数、空间利用率与晶体密度计算
晶胞是晶体中能代表整体结构的最小重复单元，计算晶胞中粒子数用“均摊法”：立方晶胞的顶点粒子为 8 个晶胞共有，计 ⅛；棱上计 ¼；面上计 ½；体内计 1。例如 NaCl 晶胞中 Cl⁻ 有 8 × ⅛ + 6 × ½ = 4 个，Na⁺ 有 12 × ¼ + 1 = 4 个，所以含 4 个 NaCl；六方棱柱的顶点则计 ⅙。本工具收录 12 种常见结构：简单立方、体心立方、面心立方（立方最密堆积）、六方最密堆积、NaCl、CsCl、闪锌矿 ZnS、萤石 CaF₂、金刚石、石墨、钙钛矿 CaTiO₃ 和金红石 TiO₂。三维模型可以拖动旋转，能切换“完整原子 / 均摊份额 / 仅独立原子”三种显示，调节原子大小直到硬球相切，高亮任一中心原子的配位多面体，或扩展为 2×2×2 个晶胞。每种结构都列出均摊计数明细、配位数、空间利用率（面心立方与六方最密 74.05%、体心立方 68.02%、简单立方 52.36%、金刚石 34.01%）、晶格常数 a 与半径 r 的关系（如面心立方 √2a = 4r、体心立方 √3a = 4r）和实例。密度计算器按 ρ = Z·M / (N_A·a³) 求密度、晶格常数、原子半径、摩尔质量或 Z，例如铜（面心立方，a = 361.5 pm）：ρ = 4 × 63.546 / (6.022 × 10²³ × (3.615 × 10⁻⁸ cm)³) ≈ 8.93 g/cm³；还附有离子晶体的半径比规则（r₊/r₋ 与配位数 3、4、6、8 的对应关系）。
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如何使用晶胞与晶体结构
- 1点选一种晶体结构，拖动三维模型旋转观察，可切换均摊份额显示、配位多面体或 2×2×2 扩展
- 2查看晶胞中粒子数的均摊计数、配位数、空间利用率和 a 与 r 的关系
- 3在密度计算器中选预设（如 Cu、Fe、NaCl、Si）或自填数据，选择要求的量（ρ、a、r、M 或 Z），并可用半径比规则预测配位数
常见问题
- 晶胞中的粒子数怎么算？
- 用均摊法：立方晶胞中位于顶点的粒子被 8 个晶胞共有，每个晶胞分得 ⅛；棱上的被 4 个晶胞共有，分得 ¼；面上的被 2 个共有，分得 ½；体内的完全属于该晶胞，计 1。面心立方 = 8 × ⅛ + 6 × ½ = 4，体心立方 = 8 × ⅛ + 1 = 2。六方棱柱的顶点为 6 个棱柱共有，计 ⅙，所以六方最密堆积的棱柱含 12 × ⅙ + 2 × ½ + 3 = 6 个原子。
- 面心立方和体心立方的空间利用率是多少？
- 面心立方中原子沿面对角线相切，√2a = 4r，晶胞含 4 个原子，空间利用率 = 4 × (4/3)πr³ / a³ = π/(3√2) ≈ 74.05%，与六方最密堆积相同，是等径球的最密堆积。体心立方沿体对角线相切，√3a = 4r，含 2 个原子，空间利用率 = √3π/8 ≈ 68.02%。简单立方为 52.36%，金刚石只有 34.01%。
- 怎样由晶胞参数计算晶体密度？
- ρ = Z·M / (N_A·V)，Z 是每个晶胞含的化学式单位数，M 是摩尔质量，V 是晶胞体积（立方晶系 V = a³，注意把 pm 换成 cm：1 pm = 10⁻¹⁰ cm）。例如铜 Z = 4，a = 361.5 pm，ρ = 4 × 63.546 / (6.022 × 10²³ × 4.724 × 10⁻²³) ≈ 8.93 g/cm³。反过来，已知密度也能求晶格常数和原子半径。
- CsCl 晶胞是体心立方吗？
- 不是。CsCl 晶胞中 Cl⁻ 在顶点、Cs⁺ 在体心，体心和顶点不是同一种粒子，因此不是体心立方点阵，而是两套简单立方互相穿插，配位数为 8 : 8。只有当体心与顶点为同种原子（如 α-Fe、Na）时才叫体心立方。