🔬一维薛定谔方程模拟器 - 势阱能级与波函数、量子隧穿波包动画、叠加态

如何使用量子力学模拟（薛定谔方程）

1. 1选择模块：束缚态与能级、波包隧穿或叠加态演化
2. 2选势能类型并调整阱宽、阱深、ħω、势垒高度与宽度，或在图上直接画势能
3. 3点击能级查看波函数和概率分布，播放波包动画读取透射率，或选两个态观察叠加后的周期振荡

常见问题

一维无限深势阱的能级公式是什么？电子在 1 nm 的阱里能量多大？

Eₙ = n²π²ħ²/(2ma²)，n = 1, 2, 3…，能级与 n² 成正比，波函数 ψₙ = √(2/a)·sin(nπx/a)。电子的 ħ²/2mₑ ≈ 0.0381 eV·nm²，所以 a = 1 nm 时 E₁ ≈ 0.376 eV、E₂ ≈ 1.50 eV、E₃ ≈ 3.38 eV。阱宽减半，所有能级变为 4 倍，这就是量子点越小发光越偏蓝的原因。

量子隧穿的透射概率怎么算？

粒子能量 E 低于方势垒高度 V₀ 时，透射系数 T = [1 + V₀² sinh²(κa) / (4E(V₀ − E))]⁻¹，κ = √(2m(V₀ − E))/ħ，a 为势垒宽度。势垒较厚时近似 T ≈ 16(E/V₀)(1 − E/V₀)e^(−2κa)，随宽度指数衰减。例如 0.8 eV 的电子穿过 1 eV 高、0.5 nm 宽的势垒，T ≈ 0.24。E > V₀ 时 T 也不一定等于 1，只有在 k′a = nπ 时才完全透射。

为什么波包的透射率和平面波的 T(E₀) 不一样？

有限宽度的波包包含一系列动量，宽度 σ 的高斯波包动量分布的标准差为 ħ/(2σ)。由于 T(E) 随能量变化很陡（隧穿时近似指数），高能分量贡献更大，所以实测透射率是 T(E) 对动量分布的加权平均 ⟨T⟩，通常高于 T(E₀)。波包越宽，动量越确定，⟨T⟩ 越接近平面波结果。工具会同时给出两者和模拟结果。

Crank–Nicolson 方法有什么优点？

它对时间做隐式的中点离散：(1 + iHΔt/2ħ)ψⁿ⁺¹ = (1 − iHΔt/2ħ)ψⁿ。矩阵是酉的 Cayley 形式，所以总概率在每一步都严格守恒，并且对任意时间步长都稳定；一维情况下每步只需解一个三对角线性方程组，计算量与格点数成正比。显式欧拉法则会让范数指数增长、很快发散。

两个能级叠加后为什么会“晃动”？和原子发光有什么关系？

Ψ = c₁ψ₁e^(−iE₁t/ħ) + c₂ψ₂e^(−iE₂t/ħ)，概率密度中出现交叉项 2c₁c₂ψ₁ψ₂cos(ΔE·t/ħ)，所以电子分布以角频率 ω = ΔE/ħ 来回振荡，周期 T = h/ΔE。若两个态宇称相反，⟨x⟩ 随之振荡，形成振荡的电偶极矩，向外辐射频率 ν = ΔE/h 的光，这正是玻尔频率条件的来源；宇称相同时偶极矩阵元 ⟨m|x|n⟩ 为零，对应偶极跃迁禁戒。