🛝最速降线模拟 - 摆线与直线圆弧赛跑、等时降落、斯涅尔定律

如何使用最速降线赛跑（摆线 vs 直线、圆弧、抛物线）

1. 1拖动画布上的 A、B 两点设定起点和终点（B 要比 A 低）
2. 2勾选参赛曲线，点“✏️ 画一条曲线”可以从 A 到 B 手绘一条
3. 3点“开始比赛”观看珠子同时下滑，在表格中比较用时和名次
4. 4调节摩擦系数或改用月球、火星重力，看结果如何变化
5. 5切到“等时降落”和“斯涅尔定律类比”理解摆线的特殊性质

常见问题

为什么直线不是最快的路？

直线最短，但起步太平缓，珠子加速慢。最快的路先陡峭下落，尽早获得速度，再用这个大速度走完剩下的距离。速度只取决于下降高度 v = √(2gy)，所以多走一点路换来更早的高速是划算的。摆线在“先陡后缓”之间取得了精确的最佳平衡，可以用变分法严格证明。

摆线是什么样的曲线？

摆线是一个圆沿直线滚动时，圆周上一点画出的轨迹，参数方程 x = R(θ − sinθ)，y = R(1 − cosθ)。作为最速降线时它是倒过来的：从起点竖直下落开始，逐渐变平。当 B 的水平距离超过下降高度的 π/2 倍时，最快路线甚至会先降到 B 以下再往上爬，这一点很反直觉，工具里拖动 B 就能看到。

什么是等时性？和摆钟有什么关系？

在摆线形状的碗里，小球无论从多高的地方静止释放，到达底部的时间都是 π√(R/g)，与起点无关，所以摆线也叫等时曲线。普通单摆的周期会随摆幅增大而变长，惠更斯在 1673 年让摆线上悬挂的摆沿摆线运动，做出了理论上严格等时的摆钟。

伯努利是怎么用光学解出最速降线的？

他把珠子看成光：下落 y 后速度 v = √(2gy)，就像光进入光速越来越快的分层介质。光走用时最短的路径（费马原理），在每层界面满足斯涅尔定律 sinφ/v = 常数。把层数趋于无穷，这个条件给出的正是摆线。工具中的“斯涅尔定律类比”页签展示了分层折射光线如何逼近摆线。

加了摩擦以后摆线还是最快的吗？

不一定。有摩擦时损失与法向力有关，而法向力包括重力分量和向心项 mv²/r，弯得越厉害、速度越大损失越多。所以有摩擦的最速降线会比摆线更“浅”一些，当 B 离得很远时摆线上的珠子甚至可能卡在半路。工具按珠子穿在线上的模型数值积分，可以直接比较不同曲线。