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🏔️三维函数图像 - 在线画 z=f(x,y) 三维曲面图（可旋转、等高线、导出 PNG）

二元函数 z = f(x, y) 的图像是一张曲面，光看公式很难想象它的形状。在这里输入公式，工具会在指定的 x、y 范围内取网格采样，画出按高度着色的三维曲面：拖动就能从任意角度观察，切换到等高线模式还能同时看到曲面上的等值线和底面投影。它是二维「函数图像」工具的立体版，适合学习多元微积分、偏导与极值、鞍点，也能用来做课件插图。

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如何使用三维函数图像

  1. 1在「z =」输入框里写公式，如 sin(x)*cos(y) 或 x^2-y^2
  2. 2设置 x、y 的范围与网格精度（z 范围默认自动）
  3. 3拖动画布旋转、滚轮或双指缩放，切换实体 / 网格线 / 等高线
  4. 4需要时添加第二、三个曲面对比，最后导出 PNG

常见问题

三维函数图像怎么输入公式？
只写等号右边即可，例如 x^2+y^2、sin(x)*cos(y)、exp(-(x^2+y^2))。乘号可以省略（2x、3xy 要写成 3x*y），乘方用 ^，支持 sin、cos、tan、exp、ln、sqrt、abs 等函数和 pi、e 常量，写法与二维函数图像工具相同。
为什么曲面中间有缺口？
有两种情况：函数在那些点没有定义（如 sin(r)/r 在原点、ln 的负数部分），或者取值超出了 z 范围。自动 z 范围会把 1/r 这类趋于无穷的尖峰截掉，避免整张图被压扁；想看完整的尖峰，可以手动填更大的 z 范围。
马鞍面和猴鞍面有什么区别？
马鞍面 z = x² − y² 在原点沿 x 方向是极小、沿 y 方向是极大，是二元函数鞍点的典型例子；猴鞍面 z = x³ − 3xy² 在原点有三个下降方向（两条腿加一条尾巴），它的二阶导数全为 0，用二阶判别法判断不了。
等高线模式能看什么？
等高线是曲面上高度相同的点连成的线，就像地图上的等高线：线越密的地方越陡。工具会在曲面上画出彩色等高线，同时把它们投影到底面，方便判断极值点、鞍点和梯度方向。