🎲概率模拟器 - 在线掷硬币、掷骰子、转盘、摸球实验（频率分布与大数定律）

如何使用概率模拟器（掷硬币/骰子）

1. 1选择实验：掷硬币、掷骰子、转盘或摸球，并设置参数（枚数、骰子个数与面数、扇区权重、球数）
2. 2选择试验次数（10～1,000,000）和动画速度，需要复现时填一个随机种子
3. 3点「开始模拟」，观察直方图、累计平均曲线的变化，可随时暂停继续
4. 4查看样本均值 / 方差与理论值的对比，以及卡方检验的 p 值

常见问题

什么是大数定律？在这里怎么看出来？

大数定律说的是：独立重复试验的次数越多，事件发生的频率越接近它的概率，样本平均值越接近期望。模拟时看「累计平均值」曲线：刚开始上下剧烈波动，几千次以后就紧贴红色虚线（理论期望）了。

两个骰子点数和为什么 7 的概率最大？

两个骰子共有 36 种等可能的结果，点数和为 7 的组合最多：(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 共 6 种，所以概率是 6/36 = 1/6；而 2 和 12 各只有 1 种组合。骰子越多，点数和的分布越接近正态分布的钟形。

卡方检验的 p 值怎么理解？

p 值表示「如果骰子（或硬币）真的是公平的，出现至少这么大偏差的概率」。p ≥ 0.05 一般认为观测结果与理论一致；p < 0.05 说明差异显著。注意即使完全随机，也大约有 5% 的机会得到 p < 0.05。

放回和不放回摸球有什么区别？

放回抽样每次摸之前都把球放回，摸到红球的概率始终不变，红球个数服从二项分布；不放回时每摸走一个球，剩下的比例就变了，红球个数服从超几何分布，方差比放回时小。两种设置都可以在这里对比。