祈灵工具箱🎳中心极限定理模拟 - 高尔顿板、大数定律与蒙特卡洛 π
四个统计学经典实验放在一起，帮你“看见”概率规律。高尔顿板：小球从顶端落下，在每排钉子处随机向左或向右（向右概率 p 可调），可以设排数、小球总数和速度，看着落进格子的小球堆出二项分布，再叠加期望值和正态近似曲线，给出样本均值、方差与理论值 np、np(1−p) 的对比和卡方拟合优度检验。中心极限定理：选择总体分布——均匀、指数、双峰、掷骰子，或者自己用鼠标画一个奇形怪状的直方图——设定样本大小 n，一次抽 1 个、100 个、1000 个或 1 万个样本，样本均值的直方图会越来越接近正态曲线 N(μ, σ²/n)，并对比样本均值的标准差与理论标准误 SE = σ/√n。大数定律：同时进行多组抛硬币、掷骰子或指数分布实验，画出累计平均值随试验次数的变化（可用对数横轴），灰色漏斗是 ±2σ/√n 的范围。蒙特卡洛求 π：往正方形里随机投飞镖，用落在四分之一圆里的比例估计 π，并画出估计值的收敛过程。所有实验都用可设种子的随机数生成器，同一个种子结果完全可复现，方便课堂演示。
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如何使用中心极限定理模拟
- 1选择高尔顿板、中心极限定理、大数定律或蒙特卡洛 π 标签
- 2设置参数（排数和概率、总体分布与样本大小、实验类型、投点数），需要复现时填写随机种子
- 3点击开始或“再抽 / +N”按钮运行模拟，观察直方图和曲线变化
- 4对照样本统计量与理论值、卡方检验或标准误，理解结论
常见问题
- 中心极限定理说的是什么？
- 从任意一个方差有限的总体里，反复抽取大小为 n 的样本并计算样本均值，只要 n 足够大，这些样本均值的分布就近似正态分布，均值等于总体均值 μ，标准差（标准误）等于 σ/√n。总体本身可以很不对称，比如指数分布或双峰分布，在工具里把 n 从 1 调到 30 就能看到直方图逐渐变成钟形。
- 样本量 n 要多大才够用？
- 常见的经验是 n ≥ 30，但这取决于总体的形状：均匀分布这样对称的总体 n = 5 左右就很接近正态；指数分布这种偏斜的总体需要更大的 n；极端偏斜或有离群值的总体可能要上百。工具里可以分别试试不同总体和 n，看看直方图和红色正态曲线什么时候对得上。
- 高尔顿板为什么会形成钟形？
- 每个小球在 n 排钉子处各做一次独立的“向左还是向右”的选择，最后落在第 k 格意味着恰好向右 k 次，概率是二项分布 C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ。中间的格子对应的路径条数最多，所以球最多。排数越多，二项分布越接近均值 np、方差 np(1−p) 的正态分布，这是中心极限定理的一个特例。
- 大数定律和中心极限定理有什么区别？
- 大数定律说的是“会收敛到哪里”：试验次数越多，样本平均值越接近期望值。中心极限定理说的是“围绕期望值怎样波动”：误差大致服从正态分布，大小按 σ/√n 缩小。所以蒙特卡洛方法想多一位有效数字，就要多做约 100 倍的试验，在求 π 的实验里可以亲眼看到这一点。