为什么正多面体只有 5 种？

正多面体每个顶点至少有 3 个全等正多边形相交，且这些面角之和必须小于 360°，否则无法凸起来。正三角形（60°）可以 3、4、5 个相交，得到正四、八、二十面体；正方形（90°）只能 3 个，得到立方体；正五边形（108°）只能 3 个，得到正十二面体；正六边形 3 个就恰好 360°，铺成平面。所以只有 5 种。

欧拉公式 V − E + F = 2 对所有多面体都成立吗？

对所有凸多面体（以及任何与球面同胚、没有洞的多面体）都成立。比如立方体 8 − 12 + 6 = 2，足球（截角二十面体）60 − 90 + 32 = 2。工具里每种立体、截角和对偶后的形状都会实时验证。带洞的多面体（如“相框”形）结果是 0，不再是 2。

截角和截半有什么区别？

截角是从每个顶点沿棱削去一小段，原来的顶点变成新的小面：立方体削到新棱和剩余旧棱等长时就是截角立方体（3.8.8）。继续削到每条棱的中点，相邻截口连在一起，旧棱完全消失，这就是截半，立方体截半得到立方八面体（3.4.3.4）。滑块从 0 拖到 0.5 可以连续看到整个过程。

打印出来的展开图怎么做成模型？

设置想要的棱长（毫米），下载 PDF 用 A4 纸 100% 原尺寸打印（不要选“适合页面”）。沿实线剪下，沿虚线折出折痕，在灰色粘合边上涂胶，粘到对应的棱背面。较大的阿基米德立体展开图可能超出 A4，PDF 会自动缩小并提示比例，个别粘合边若与其它部分重叠，剪的时候修窄一点即可。

🧊

🧊多面体 3D 展示 - 柏拉图与阿基米德立体、展开图打印

立体几何课上讲的正多面体，用这个工具可以拿在“手里”转着看。内置 5 种柏拉图立体（正四、六、八、十二、二十面体）、全部 13 种阿基米德立体（截角四面体、立方八面体、截角二十面体足球、扭棱立方体、扭棱十二面体等），以及底面边数可调的正棱柱、反棱柱、正棱锥和双棱锥。拖动旋转、滚轮缩放，可切换实体、线框、半透明三种显示，面按边数着色。旁边实时给出顶点数 V、棱数 E、面数 F 和欧拉公式 V − E + F = 2 的验证，面的组成（如 8 个三角形 + 6 个正方形）与顶点构型（如 3.4.3.4）。截角滑块能连续地把立方体削成截角立方体、再削成立方八面体，一键跳到“均匀截角”和“截半”；“对偶”开关用关于棱切球的极倒易把立方体变成正八面体、十二面体变成二十面体、阿基米德立体变成卡塔兰立体。输入棱长 a 即可算表面积、体积和外接球半径，正多面体还给出精确公式。展开功能会自动找一种互不重叠的展开方式，播放从立体摊平成平面的动画；平面展开图可按毫米指定棱长，带粘合边，导出 SVG 或 A4 PDF，打印剪下就能折出纸模型。所有计算在浏览器本地完成。

免费 · 无需注册 · 浏览器本地处理最后更新：2026-10-26

正在加载工具...

如何使用多面体展示

1从下拉框选择多面体，棱柱类可调底面边数 n
2拖动旋转，切换实体/线框/半透明，调截角滑块或打开对偶
3查看 V、E、F 与欧拉公式，输入棱长计算表面积和体积
4播放展开动画，或切到平面展开图设置打印棱长，下载 SVG/PDF

常见问题

为什么正多面体只有 5 种？: 正多面体每个顶点至少有 3 个全等正多边形相交，且这些面角之和必须小于 360°，否则无法凸起来。正三角形（60°）可以 3、4、5 个相交，得到正四、八、二十面体；正方形（90°）只能 3 个，得到立方体；正五边形（108°）只能 3 个，得到正十二面体；正六边形 3 个就恰好 360°，铺成平面。所以只有 5 种。
欧拉公式 V − E + F = 2 对所有多面体都成立吗？: 对所有凸多面体（以及任何与球面同胚、没有洞的多面体）都成立。比如立方体 8 − 12 + 6 = 2，足球（截角二十面体）60 − 90 + 32 = 2。工具里每种立体、截角和对偶后的形状都会实时验证。带洞的多面体（如“相框”形）结果是 0，不再是 2。
截角和截半有什么区别？: 截角是从每个顶点沿棱削去一小段，原来的顶点变成新的小面：立方体削到新棱和剩余旧棱等长时就是截角立方体（3.8.8）。继续削到每条棱的中点，相邻截口连在一起，旧棱完全消失，这就是截半，立方体截半得到立方八面体（3.4.3.4）。滑块从 0 拖到 0.5 可以连续看到整个过程。
打印出来的展开图怎么做成模型？: 设置想要的棱长（毫米），下载 PDF 用 A4 纸 100% 原尺寸打印（不要选“适合页面”）。沿实线剪下，沿虚线折出折痕，在灰色粘合边上涂胶，粘到对应的棱背面。较大的阿基米德立体展开图可能超出 A4，PDF 会自动缩小并提示比例，个别粘合边若与其它部分重叠，剪的时候修窄一点即可。