怎么从图上判断零点和极点？

找所有颜色汇聚的点。沿着它逆时针绕一圈，如果颜色按红→黄→绿→青→蓝→品红的顺序走，就是零点；顺序反过来就是极点。颜色转了几整圈，就是几阶零点或几阶极点，比如 (z−2−i)² 的零点处颜色转两圈。经典模式下零点显示为黑点、极点为白点，模长等高线也会在它们附近越来越密。

exp(1/z) 在 0 附近为什么那么乱？

z = 0 是 exp(1/z) 的本性奇点，既不是零点也不是极点。按照大皮卡定理，在 0 的任意小邻域里，函数取遍除 0 以外的所有复数值无穷多次，所以颜色和亮度在原点附近剧烈振荡。放大看会发现图案在不同尺度上重复出现，这是本性奇点的典型样子。

黎曼球面视图有什么用？

它用球极投影把整个复平面加上无穷远点包到一个球上：南极是 0，北极是 ∞，赤道是单位圆。这样就能直接看到函数在 ∞ 处的行为，例如 n 次多项式在北极是一个 n 阶极点，而 (z−1)/(z+1) 这样的莫比乌斯变换在球面上只有一个零点和一个极点，非常整齐。

log 和 sqrt 图上为什么有一条颜色突变的线？

复对数和平方根是多值函数，这里取的是主值：辐角限定在 (−π, π]，于是沿负实轴有一条分支切割线，跨过它颜色会突然跳变。这不是计算错误，而是选择单值分支的结果。gamma 函数在 0、−1、−2… 处的颜色汇聚点则是它的一阶极点。

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🎇复变函数图像 - 域着色、相位图与黎曼球面

复变函数 f(z) 把平面映到平面，没法像实函数那样画一条曲线。域着色的办法是给复平面上每个点涂上 f(z) 的颜色：色相表示辐角 arg f（红 0°、黄 60°、绿 120°、青 180°、蓝 240°、品红 300°），亮度表示模长 |f|。这样零点和极点就成了所有颜色汇聚的点——零点处颜色按红→黄→绿→蓝逆时针排列，极点处顺序相反，绕的圈数就是阶数。工具支持 + − × ÷ ^ 和 exp、log、sqrt、sin、cos、tan、sinh、cosh、tanh、asin、acos、atan、gamma、conj、abs、arg、Re、Im，常数 i、pi、e，可以写 2z、(z+1)(z−1) 这样省略乘号的式子。着色方式有五种：经典（零点黑、极点白）、纯相位、相位加模长对数等高线（|f| 每翻一倍一条线）、增强相位图（再叠加等辐角线）和共形网格（显示 Re f、Im f 的整数格线，能看出共形映射保角的特点）。拖动平移、滚轮或双指缩放，鼠标悬停读出 z 与 f(z) 的数值；切换到黎曼球面视图，用球极投影把 ∞ 放到北极，多项式在无穷远处的极点、exp(1/z) 在 0 处的本性奇点都看得很清楚。渲染在多个 Web Worker 里并行进行，可导出 PNG。内置 z³−1、(z²−1)(z−2−i)²/(z²+2+2i)、exp(1/z)、sin z、Γ(z) 等示例。

免费 · 无需注册 · 浏览器本地处理最后更新：2026-10-26

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如何使用复变函数域着色

1在 f(z) 输入框写函数，或点一个示例
2选择着色方式：经典、纯相位、模长等高线、增强相位图或共形网格
3拖动平移、滚轮缩放，悬停查看数值；可切换黎曼球面视图
4找出零点与极点的位置和阶数，导出 PNG

常见问题

怎么从图上判断零点和极点？: 找所有颜色汇聚的点。沿着它逆时针绕一圈，如果颜色按红→黄→绿→青→蓝→品红的顺序走，就是零点；顺序反过来就是极点。颜色转了几整圈，就是几阶零点或几阶极点，比如 (z−2−i)² 的零点处颜色转两圈。经典模式下零点显示为黑点、极点为白点，模长等高线也会在它们附近越来越密。
exp(1/z) 在 0 附近为什么那么乱？: z = 0 是 exp(1/z) 的本性奇点，既不是零点也不是极点。按照大皮卡定理，在 0 的任意小邻域里，函数取遍除 0 以外的所有复数值无穷多次，所以颜色和亮度在原点附近剧烈振荡。放大看会发现图案在不同尺度上重复出现，这是本性奇点的典型样子。
黎曼球面视图有什么用？: 它用球极投影把整个复平面加上无穷远点包到一个球上：南极是 0，北极是 ∞，赤道是单位圆。这样就能直接看到函数在 ∞ 处的行为，例如 n 次多项式在北极是一个 n 阶极点，而 (z−1)/(z+1) 这样的莫比乌斯变换在球面上只有一个零点和一个极点，非常整齐。
log 和 sqrt 图上为什么有一条颜色突变的线？: 复对数和平方根是多值函数，这里取的是主值：辐角限定在 (−π, π]，于是沿负实轴有一条分支切割线，跨过它颜色会突然跳变。这不是计算错误，而是选择单值分支的结果。gamma 函数在 0、−1、−2… 处的颜色汇聚点则是它的一阶极点。