🥁克拉尼图形模拟器 - 振动板沙粒图案、鼓膜贝塞尔模态、简并模态

如何使用克拉尼图形与振动模式

1. 1在克拉尼板页选材料、边长和厚度，拖动驱动频率，或点下方模态按钮直接跳到共振
2. 2看沙粒逐渐聚集到节线上，可切换热图或 3D 曲面，点「播放该频率」听音高
3. 3在圆形鼓膜页选鼓的预设或输入张力、面密度，在 m×n 表格里点选模态
4. 4在矩形膜页保持长宽相等，选一个简并模态组，拖动混合角 α 观察节线变化

常见问题

克拉尼图形是怎么形成的？

板在某个共振频率振动时形成驻波，有些线上的点始终不动，称为节线。撒在板上的沙子在振动强烈的地方被不断弹起、随机挪动，到了节线附近就不再被弹开，久而久之全部堆积在节线上，画出驻波的“骨架”。18 世纪末克拉尼用小提琴弓摩擦金属板边缘首次展示了这些图案。

为什么板的高阶频率涨得那么快？

弦和膜的波速固定，频率与波数 k 成正比；而薄板的弯曲波满足 ω = k²√(D/ρh)，频率与 k² 成正比。所以板的 (n,m) 模态频率大致按 n² + m² 增长，图案越复杂，频率上升越快。板越厚、材料越硬（D 越大）频率越高，密度越大则越低。

为什么鼓声没有明确的音高？

弦乐器的泛音是基频的整数倍（1、2、3……），耳朵会把它们融合成一个音高。圆形鼓膜的模态频率正比于贝塞尔函数的零点 j_mn，比值是 1、1.59、2.14、2.30、2.65……并非整数倍，所以听起来更像噪声。定音鼓借助鼓腔空气负载和敲击位置，让 (1,1)、(2,1)、(3,1) 等模态接近 2:3:4 的比例，才有清楚的音高。

什么是简并模态？

正方形膜上 (1,2) 与 (2,1) 两个模态频率完全相同，这叫简并。此时它们的任意线性组合也是同频率的振动模式，所以节线形状不唯一：单独一个是平行于边的直线，等量相加则变成对角线。一旦长宽略有差异，简并解除，两个频率分开，图案也就确定下来。方板 ± 组合的克拉尼图形正是这种混合的结果。

模拟和真实实验有什么差别？

真实的自由边方板没有简单的解析解，这里使用经典的余弦叠加近似，并用经验值让 ± 两种组合的频率分开，所以频率与图案只是近似。鼓膜和矩形膜使用理想膜方程（不计空气负载与弯曲刚度），频率比是精确的理论值。沙粒动画是定性模型，只表达“振幅越大跳得越厉害”。