🧊伊辛模型模拟 - 二维铁磁相变、昂萨格精确解、Wolff 团簇蒙特卡洛

如何使用伊辛模型与相变模拟

1. 1选择晶格尺寸、算法（Metropolis 或 Wolff）和铁磁/反铁磁耦合，点「运行」
2. 2拖动温度滑块，或点「T = T_c」停在临界点，观察磁畴与各项测量的运行平均
3. 3在「温度扫描」页设定温度范围与每点扫描次数，得到 ⟨|m|⟩、C、χ、e 随 T 的曲线并与精确解对比
4. 4在「磁滞回线」页固定低温扫外场 h，读出矫顽场与剩磁；在「淬火与退火」页观察畴尺寸 ℓ ∝ t^{1/2} 的粗化

常见问题

为什么临界温度是 2.269？

对二维方格、只有最近邻相互作用的伊辛模型，昂萨格在 1944 年严格求出了自由能，相变点满足 sinh(2J/k_BT_c) = 1，即 k_BT_c/J = 2/ln(1+√2) ≈ 2.269。高于它热涨落占上风，自发磁化为零；低于它出现非零自发磁化 m = (1 − sinh⁻⁴(2J/k_BT))^{1/8}。临界指数 β = 1/8 与平均场的 1/2 完全不同，这正是二维伊辛模型的著名之处。

Metropolis 和 Wolff 算法有什么区别？

Metropolis 每次只尝试翻一个自旋，按 min(1, e^{−ΔE/T}) 接受，最接近真实的局域动力学，所以淬火粗化这类演示必须用它。缺点是在 T_c 附近团簇巨大、关联时间按 L^{2.17} 暴涨（临界慢化）。Wolff 算法按概率 p = 1 − e^{−2J/T} 把同向邻居连成团簇再整体翻转，几乎消除了临界慢化，做温度扫描时同样的扫描次数下统计误差小得多，但它的「时间」不对应物理动力学。

为什么模拟出来的磁化在 T_c 以上不为零、比热峰比精确解低？

这是有限尺寸效应。精确解对应无限大晶格，有限的 L×L 晶格在 T_c 附近的关联长度被晶格尺寸截断，|m| 的平均值即使在高温也约为 1/√N 量级，比热和磁化率的发散被抹平成有限高的峰，峰的位置也略偏高。把晶格调大、测量扫描次数加多，曲线会逐渐逼近精确解；在不同 L 下宾德累积量 U₄ 曲线的交点可以用来精确估计 T_c。

比热和磁化率是怎么从模拟里算出来的？

用涨落–耗散关系：比热 C = N(⟨e²⟩ − ⟨e⟩²)/T²，磁化率 χ = N(⟨m²⟩ − ⟨|m|⟩²)/T，其中 e、m 是每自旋的能量和磁化，尖括号是对许多次扫描的运行平均。改变温度、外场或耦合后平均会自动清空，并先丢掉 20 次扫描让系统热化。

反铁磁和外场的选项能演示什么？

J < 0 时相邻自旋倾向反向，基态是棋盘格。在零场下它和铁磁模型完全等价（把一半格点翻转即可），所以序参量换成交错磁化 m_s，其温度曲线同样遵循昂萨格解；勾选「按交错自旋着色」能看到反铁磁畴。外场 h 打破上下对称：在 T < T_c 时扫描 h 会得到磁滞回线，回线宽度随温度降低和扫描加快而变大，体现了亚稳态和成核。