🐾布朗运动与扩散模拟 - 随机行走、均方位移、斯托克斯–爱因斯坦、菲克定律

如何使用布朗运动与扩散模拟

1. 1在「行走者与均方位移」页选择运动模型，调整阻尼 γ、温度 k_BT 或尾指数 α，点「运行」
2. 2观察 log–log 均方位移曲线：正常扩散斜率为 1，朗之万短时为 2，列维飞行大于 1，亚扩散小于 1
3. 3在「斯托克斯–爱因斯坦」页选择粒子与介质、设定温度，读出 D、1 秒/1 小时的位移和扩散到 1 mm 所需时间
4. 4在「扩散方程与菲克定律」页选择初始分布和边界条件，拖动观测线 x₀ 查看通量 J 与累计穿过量

常见问题

均方位移为什么和时间成正比？

每一步的位移彼此独立、平均为零，所以总位移的方差等于各步方差之和，随步数线性增长：⟨r²⟩ = 2dDt，d 是维数。这就是爱因斯坦 1905 年对布朗运动的解释，也是扩散的标志：距离只按 √t 增长，扩散 10 倍远需要 100 倍时间。所以在双对数坐标上正常扩散是一条斜率为 1 的直线。

朗之万模型里短时间为什么斜率是 2？

真实粒子有质量和速度，速度要经过动量弛豫时间 τ = m/γ 才会被周围分子的碰撞打乱。t ≪ τ 时粒子几乎沿直线运动，⟨r²⟩ ≈ (k_BT/m)·d·t²，斜率为 2（弹道运动）；t ≫ τ 时才变成扩散 ⟨r²⟩ = 2dDt。完整的结果是 ⟨r²⟩ = 2dD[t − τ(1 − e^{−t/τ})]，工具里的理论虚线就是它。对水中半径 1 µm 的颗粒 τ 只有约 0.2 µs，所以显微镜下看到的都是扩散段。

斯托克斯–爱因斯坦公式适用于哪些情况？

D = k_BT/(6πηr) 把粒子当作在连续黏性流体中缓慢运动的刚性小球，对胶体、细胞、病毒、蛋白质都很准，对蔗糖这样的小分子也大致可用；但当粒子与溶剂分子差不多大（如水分子自扩散）时会明显低估。空气中的亚微米颗粒要乘坎宁安滑移修正，因为颗粒尺寸接近空气分子平均自由程（约 65 nm）。气体分子之间的扩散则完全不适用斯托克斯定律，工具改用气体动理论 D = 3/(8nd²)·√(k_BT/πm)。

什么是反常扩散？

如果 ⟨r²⟩ ∝ t^β 且 β ≠ 1 就叫反常扩散。列维飞行的步长服从重尾分布 P(ℓ) ∝ ℓ^{−1−α}（α < 2），偶尔出现极长的跳跃，典型位移按 t^{1/α} 增长，属于超扩散，常用来描述动物觅食和湍流输运。连续时间随机行走里粒子每跳一次要等待重尾分布的时间（α < 1），越来越容易被长时间「困住」，⟨r²⟩ ∝ t^α，属于亚扩散，见于细胞质中的大分子和多孔介质。

菲克定律和随机行走是什么关系？

大量独立行走者的密度 c(x, t) 满足扩散方程 ∂c/∂t = D ∂²c/∂x²，这就是菲克第二定律；对应的粒子流 J = −D ∂c/∂x 是菲克第一定律：物质从浓度高处流向低处，流量与梯度成正比。工具同时用差分法解方程、用高斯步长移动几万个行走者，两者的直方图应当吻合，点源时还与解析解 c = M/√(4πDt)·e^{−x²/4Dt} 一致。想从概率角度理解随机过程，可以看马尔可夫链工具。