⛵相对运动与参考系 - 小船渡河、风三角、雨中行车、最近距离

如何使用相对运动与参考系

1. 1选择场景：小船渡河、风三角、雨中行车或两物体相对运动
2. 2用滑块输入速度、角度等参数，渡河可一键切换到最短时间或最小漂移航向
3. 3点击参考系按钮，在地面系与河水系、车内与路边、地面与物体 A 之间切换
4. 4读结果卡片：渡河时间与漂移、所需航向与地速、雨的倾角、最近距离与时刻

常见问题

渡河时间最短和漂移最小为什么不是同一个航向？

渡河时间只由垂直河岸的速度分量决定，t = d/(v_b cos θ)，船头正对对岸（θ = 0）时最快，但会被冲到下游 u·d/v_b。要减小漂移，船头必须偏向上游用一部分船速抵消水流，横渡分量变小，时间变长。船速大于水速时 sin θ = u/v_b 可以正好到达正对岸。

船速小于水速时，最少会被冲多远？

这时无论怎么划都会被冲向下游。合速度方向与河岸法线的夹角最小时漂移最小，几何上对应船速矢量与合速度垂直，此时 sin θ = v_b/u，最小漂移为 d·√(u² − v_b²)/v_b。工具里点「最小漂移航向」会自动取这个角度。

风三角里航向、航迹、风修正角是什么关系？

航向是机头指的方向，乘以空速得到空气中的速度；加上风速矢量得到对地速度，它的方向就是航迹。要沿某条航线飞，机头必须偏向来风一侧一个风修正角 WCA，使空速的横向分量正好抵消侧风：sin WCA = 侧风/空速。地速等于 √(空速² − 侧风²) 加上顺风分量。

为什么开车时雨看起来是斜着从前方打来的？

雨相对车的速度等于雨对地速度减去车对地速度：竖直下落的雨加上一个向后的分量 −v_c，于是在车里看雨从前方斜着落下，与竖直方向夹角 α = arctan(v_c/v_r)。车速越快越斜；走路时伞向前倾同样的角度就能挡住雨。

怎么判断两艘船会不会相撞？

在 A 的参考系里看，B 沿直线以相对速度 v_B − v_A 匀速运动，A 到这条直线的距离就是最近距离，时刻 t* = −(r·v)/|v|²。如果最近距离接近 0，说明在 A 看来 B 的方位不变而距离不断缩小——航海上称为"方位不变、距离减小"，是碰撞危险的标志。