📶采样定理与混叠 - 奈奎斯特频率、sinc 重建、车轮效应、量化噪声

如何使用采样定理与混叠

1. 1在“采样与重建”里输入信号分量和采样频率，或点一个预设
2. 2切换重建方式，比较理想 sinc 插值和零阶保持，看表格里每个分量的视在频率
3. 3在“频谱与折叠”里观察镜像谱线和折叠图，打开抗混叠滤波看它如何压掉高频分量
4. 4在“车轮效应”“量化”“听混叠”页分别调转速与帧率、位数与幅度、模拟采样率，观察和收听结果

常见问题

采样定理说的是什么？为什么要大于 2 倍？

奈奎斯特–香农采样定理：如果信号的最高频率是 f_max，只要采样频率 f_s > 2f_max，就能用 x(t) = Σ x[n]·sinc((t − nT_s)/T_s) 从采样值完全恢复原信号。直观地说，每个周期至少要采到两个以上的点，才能确定这个正弦的频率和相位。恰好等于 2 倍时不够：f = f_s/2 的正弦每周期正好两个采样点，如果相位不巧，两个点都落在过零点上，采到的全是 0，信号就“消失”了。所以 f_s/2 叫奈奎斯特频率，信号必须严格低于它。

混叠频率怎么计算？

采样把频谱以 f_s 为周期复制，频率 f 的正弦与 |f − k·f_s| 的正弦在采样点上完全相同（k 取最接近 f/f_s 的整数），重建时只会还原落在 0 … f_s/2 内的那一个，所以视在频率 f_a = |f − round(f/f_s)·f_s|。例如 f_s = 10 Hz 时，8 Hz 会被看成 2 Hz，13 Hz 会被看成 3 Hz，10 Hz 会被看成 0 Hz（直流）。在折叠图上，横轴每走过 f_s/2，视在频率就在 0 和 f_s/2 之间来回折一次，像折纸一样。

电影里车轮为什么会倒着转？

摄像机每秒只拍 24 帧之类的有限张画面，相当于对车轮的转动采样。辐条图案每转过 360°/N 就重复一次，所以图案的频率是 N × 转速。当这个频率略低于帧率的整数倍时，每两帧之间辐条实际转过了将近一整格，看起来却像往回退了一点，车轮就“倒转”；正好等于整数倍时每帧画面完全相同，车轮看起来静止。工具里给出视在转速 = [N·r − fps·round(N·r/fps)]/N，以及所有看似静止的转速。

量化位数和信噪比是什么关系？

N 位 ADC 把满量程 ±V_FS 分成 2^N 个电平，步长 Δ = 2V_FS/2^N。量化误差大致均匀分布在 ±Δ/2 之间，噪声功率是 Δ²/12。对满量程正弦，信号功率与量化噪声功率之比 SQNR = 6.02N + 1.76 dB，也就是每多一位约多 6 dB：8 位约 50 dB，16 位（CD）约 98 dB。信号幅度只有满量程的一部分时，SQNR 要减去 20lg(V_FS/A)，所以录音时电平不能太小；反过来幅度超过满量程就会削波，失真远大于量化噪声。

为什么采样前要加抗混叠滤波器？零阶保持又是什么？

混叠一旦发生，混进来的高频分量和真实的低频分量在采样值里无法区分，事后不可能再滤掉，所以必须在采样之前用模拟低通滤波器把 f_s/2 以上的成分衰减掉。实际滤波器不是理想的砖墙，阶数越高过渡带越陡，所以 CD 用 44.1 kHz 采样 20 kHz 的音频，留出余量。零阶保持是 DAC 的实际输出方式：每个采样值保持到下一个采样时刻，形成阶梯波，相当于理想重建乘上 sinc 包络并延迟半个采样周期，会带来高频镜像，需要后级的重建滤波器滤掉。